МАЛЫЙ МЕХМАТ МГУ

Кружок 5 класса

Задачи о спичках (8.12 и 10.12)

1.

Положите 3 спички на стол так, чтобы их головки не касались поверхности стола и друг друга.

Ответ

Ответ.

2.

Двенадцать спичек выложены так, как показано на рисунке. Сколько здесь квадратов? Выполните следующие задания:

а) уберите 2 спички так, чтобы образовалось 2 неравных квадрата;

б) переложите 3 спички так, чтобы образовалось 3 равных квадрата;

в) переложите 4 спички так, чтобы образовалось 10 квадратов.

Ответ

Ответ.

3.

Двадцать четыре спички выложены так, как показано на рисунке. Сколько здесь квадратов? Выполните следующие задания:

а) уберите 4 спички так, чтобы образовалось 5 равных квадратов;

б) уберите 6 спичек так, чтобы образовалось 5 равных квадратов;

в) переложите 12 спичек так, чтобы образовалось 2 равных квадрата;

г) уберите 8 спичек так, чтобы образовалось 4 равных квадрата;

д) уберите 8 спичек так, чтобы образовалось 3 квадрата;

е) уберите 8 спичек так, чтобы образовалось 2 квадрата.

Ответ

Ответ.

4.

Сделайте из 5 спичек 5 одинаковых треугольников и 1 пятиугольник.

Ответ

Ответ.

5.

Переложите 3 спички, чтобы стрела поменяла своё направление на пртивоположное.

Ответ

Ответ.

6.

Из 10 спичек составьте три квадрата двумя способами.

Ответ

Ответ.

7.

И "бокал" (см. левый рисунок), и "рюмка" (см. правый рисунок) составлены из четырех спичек. Внутри каждого "сосуда" — вишенка. Как нужно переместить "бокал" и "рюмку", переложив по две спички в каждом из них, чтобы вишенки оказались снаружи?

Ответ

Ответ.

Дополнительные задачи 1

8.

Из спичек составлено неверное равенство (см. рисунок).Переставьте одну спичку так, чтобы равенство стало верным.

Ответ

Ответ.

9.

В трёх кучках лежат спички, по 10 спичек в каждой. Играют Аня и Вова. Ход состоит в том, что игрок забирает несколько спичек, но только из какой-либо одной кучки. Начинает Аня. Побеждает тот, кому достанется последняя спичка. Может ли кто-нибудь из игроков играть так, чтобы наверняка выиграть, как бы ни старался другой?

Ответ Решение

Ответ. Да, Аня может играть так, чтобы выиграть, как бы ни старался Вова.

Решение. Первым своим ходом Аня целиком забирает одну из кучек со спичками. Остается 2 кучки по 10 спичек. Теперь сколько бы спичек ни забрал Вова из одной из кучек, Аня сможет забрать то же количество спичек из другой кучки. Поэтому когда Вова возьмет последнюю спичку одной из кучек (а это обязательно случится, ведь спичек конечное число), Аня заберёт последнюю спичку из другой кучки и выиграет, так как больше спичек не останется.

10.

Переложите 4 спички, чтобы получилось 15 квадратов.

Ответ

Ответ.

Дополнительные задачи 2

11.

Расположите 6 спичкек так, чтобы получилось 4 треугольника.

Ответ

Ответ.

12.

48 спичек разложены на три неравные кучки. Если из первой кучки переложить во вторую столько спичек, сколько в этой второй кучке имелось, затем из второй в третью переложить столько, сколько в этой третьей перед тем будет находиться, и из третьей переложить в первую столько спичек, сколько в этой первой кучке будет тогда иметься, то спичек во всех кучках станет одинаковое количество.Сколько спичек было в каждой кучке первоначально?

Ответ Указание Решение

Ответ. 22, 14 и 12 спичек было в кучках изначально.

Указание. Рассмотрите поцесс перекладывания спичек "с конца".

Решение. Так как 48 спичек оказались разложены в 3 равные кучки, то в этих кучках было по 48:3=16 спичек. Рассмотрим процесс перекладывания спичек "с конца":

1. "Из третьей переложить в первую столько спичек, сколько в этой первой кучке будет тогда иметься"-в первой кучке стало 16 спичек, при том, что добавили в неё столько, сколько там на тот момент было. Значит, в первой кучке на предыдущем шаге стало 16:2=8 спичек, а в третьей - 16+8=24 спички.

2. "Из второй в третью переложить столько, сколько в этой третьей перед тем будет находиться"-в третьей кучке стало 24 спички, при том, что добавили в неё столько, сколько там на тот момент было. Значит, в третьей кучке на предыдущем шаге стало 24:2=12 спичек, а во второй - 16+12=28 спичек. В первой кучке пока 8 спичек.

3. И, наконец, "из первой кучки переложить во вторую столько спичек, сколько в этой второй кучке имелось"-во второй кучке стало 28 спичек, при том, что добавили в неё столько, сколько там на тот момент было. Значит, во второй кучке изначально было 28:2=14 спичек, а в первой - 8+14=22 спички. В третьей кучке 12 спичек.